% Preamble
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% Document
\begin{document}

\sffamily

\begin{titlepage}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

\begin{center}
\Huge \textbf{MATHEMATIQ}
\end{center}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

\begin{center}
\Large Der Newsletter der MathSIG
\\ \normalsize (Interessensgruppe innerhalb der Mensa \"{O}sterreich)
\end{center}

\begin{center}
\Large Ausgabe 8
\end{center}

\begin{center}
\normalsize \url{http://www.hugi.scene.org/adok/mensa/mathsig/}
\end{center}

\end{titlepage}

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\begin{center}
\Large \textbf{Editorial}
\end{center}
\normalsize Liebe Leserinnen und Leser!
\\
\\ Dies ist die achte Ausgabe von MATHEMATIQ, dem Newsletter der MathSIG. Die MathSIG wurde gegr\"{u}ndet, um die spezifischen Interessen mathematisch hochbegabter Menschen zu f\"{o}rdern. In erster Linie soll sie sich also den Themengebieten Mathematik, Informatik, Physik und Philosophie widmen. Beitr\"{a}ge von Lesern sind herzlich willkommen. Wenn in ihnen mathematische Sonderzeichen vorkommen, bitte ich aber, sie zwecks m\"{o}glichst einfacher und fehlerfreier Formatierung im \TeX-Format einzusenden. Als Vorlage ist eine Fassung des jeweils aktuellen Newsletters im \TeX-Format auf Anfrage bei mir erh\"{a}ltlich. Au\ss{}er Artikeln sind nat\"{u}rlich auch Illustrationen f\"{u}r das Titelblatt willkommen. Die Rechte an diesen m\"{u}ssen aber eindeutig bei euch selbst liegen, Kopieren von Bildern aus dem Internet ist nicht erlaubt.
\\
\\ \textbf{Da es unl\"{a}ngst ein Missverst\"{a}ndnis gegeben hat: F\"{u}r alle Beitr\"{a}ge in MATHEMATIQ sind die jeweiligen Autoren selbst verantwortlich. Der Verein Mensa ist keinesfalls f\"{u}r die Inhalte von MATHEMATIQ zur Verantwortung zu ziehen.}
\\
\\ \textbf{Diese Ausgabe} ist ein Sonderfall. Die Ausgaben 6 und 7 mussten n\"{a}mlich zur\"{u}ckgezogen werden, weil sie sich mit einigen Thesen eines Hobby-Physikers besch\"{a}ftigten, die er in \"{o}ffentlich zug\"{a}nglichen Internet-Foren gepostet hat. Es stellte sich heraus, dass es diesem Mann nicht recht war, dass seine Thesen hier in MATHEMATIQ kommentiert wurden. Ich entschied mich daher, diese beiden Ausgaben zu l\"{o}schen und statt dessen eine neue Ausgabe, eben diese Ausgabe 8, zu ver\"{o}ffentlichen, in der die \"{u}brigen, unstrittigen Artikel aus den entfernten Ausgaben zusammengefasst sind. Ich m\"{o}chte mich bei dem Hobby-Physiker entschuldigen, dass ich gewagt habe, \"{u}ber seine in diversen Internet-Foren ver\"{o}ffentlichten Thesen zu diskutieren; an seiner Stelle h\"{a}tte ich mich freilich dar\"{u}ber gefreut, dass mir so viel Beachtung geschenkt wird.
\\
\\ In diesem Sinne: Viel Spa\ss{} beim Lesen und Lernen!
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Claus D. Volko, cdvolko@gmail.com
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\begin{center}
\Large \textbf{Buchvorstellung}
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\normalsize In der Buchhandlung INTU habe ich vor kurzem ein neues Lehrbuch der Mathematik entdeckt. Es ist im Springer-Verlag erschienen und nennt sich ``Grundwissen Mathematikstudium - Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen''. Zahlreiche Autoren sind an diesem Buch beteiligt, unter anderem Tilo Arens und TU-Wien-Professor Hellmuth Stachel. Das Buch hat einen Umfang von fast 1200 Seiten und erinnert in dieser Hinsicht an ein medizinisches Lehrbuch.
\\
\\ Ich kann dieses Buch nur jedem empfehlen, der sich f\"{u}r Mathematik auf Hochschulniveau interessiert und noch nicht allwissend auf diesem Gebiet ist. Das Buch ist didaktisch hervorragend aufgebaut, alles ist leicht verst\"{a}ndlich und nachvollziehbar erkl\"{a}rt; es gibt zahlreiche Exkurse zur Geschichte der Mathematik und zu konkreten Problemen. Man lernt, wie ein Mathematiker zu denken, wenn man dieses Buch liest. Sehr reizvoll ist auch, dass die beiden Gebiete der Analysis und der Linearen Algebra, die im Mathematikstudium getrennt behandelt werden, in diesem Buch ineinander verwoben sind, so dass die Zusammenh\"{a}nge und Gemeinsamkeiten klar hervortreten.

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Claus D. Volko, cdvolko@gmail.com
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\begin{center}
\Large \textbf{Zum $\P$-$\NP$-Problem}
\end{center}
\normalsize Immer wieder werden ``Beweise'' ver\"{o}ffentlicht, die entweder in die eine oder in die andere Richtung gehen. Von der Fachwelt werden die meisten gar nicht mehr ernst genommen. Das liegt daran, dass es leider auch sehr viel Arbeit ist, einen Beweis logisch zu \"{u}berpr\"{u}fen, um eventuelle Fehler zu finden. Interessant finde ich pers\"{o}nlich aber, dass es auch Beweisversuche gibt, die behaupten, das $\P$-$\NP$-Problem w\"{a}re unl\"{o}sbar. Was ist da dran?
\\
\\ Zun\"{a}chst ist das $\P$-$\NP$-Problem nicht unentscheidbar, weil es sich ja nicht um ein Entscheidungsproblem handelt. Paper, die das $\P$-$\NP$-Problem als unentscheidbar bezeichnen, sind daher schon aus diesem Grund fragw\"{u}rdig.
\\
\\ Man k\"{o}nnte aber untersuchen, ob ein verwandtes Entscheidungsproblem entscheidbar ist. Dieses Entscheidungsproblem bezeichne ich als die Menge $\NP$ $\backslash$ $\P$. Es ist mit dem $\P$-$\NP$-Problem insofern verwandt, als $\P$ genau dann gleich $\NP$ ist, wenn $\NP$ $\backslash$ $\P$ gleich der leeren Menge ist. Man kann sich nun Gedanken dar\"{u}ber machen, ob die Menge $\NP$ $\backslash$ $\P$ entscheidbar ist. Zur L\"{o}sung des $\P$-$\NP$-Problems bringt es meiner Ansicht nach nicht viel. Was w\"{u}rde es denn implizieren, wenn $\NP$ $\backslash$ $\P$ entscheidbar sein sollte, und was, wenn $\NP$ $\backslash$ $\P$ unentscheidbar sein sollte? Meiner Meinung nach gar nichts. Auch wenn $\NP$ $\backslash$ $\P$ unentscheidbar sein sollte, k\"{o}nnte es grunds\"{a}tzlich m\"{o}glich sein, das $\P$-$\NP$-Problem zu l\"{o}sen. Wenn $\NP$ $\backslash$ $\P$ entscheidbar w\"{a}re, dann w\"{u}rde das alleine auch noch nicht das $\P$-$\NP$-Problem l\"{o}sen. So gesehen, ist die Frage der Entscheidbarkeit der Menge $\NP$ $\backslash$ $\P$ eine reine \"{U}bungsaufgabe ohne Relevanz f\"{u}r das eigentliche Problem. Ich lade aber gerne ein, sich an dieser \"{U}bungsaufgabe zu versuchen. Meiner Meinung nach ist $\NP$ $\backslash$ $\P$ unentscheidbar. Die Begr\"{u}ndung, also L\"{o}sung der \"{U}bungsaufgabe, bringe ich auf der n\"{a}chsten Seite.

\newpage 
\begin{center}
\Large L\"{o}sung der \"{U}bungsaufgabe
\end{center}
Ein Turing-Entscheider mag vielleicht in vielen F\"{a}llen in der Lage sein zu bestimmen, ob ein Problem in der Menge $\NP$ liegt, aber nicht in allen F\"{a}llen. Damit ein Problem in $\NP$ sein kann, muss es mindestens einen Algorithmus geben, der die G\"{u}ltigkeit einer L\"{o}sung \"{u}berpr\"{u}ft und f\"{u}r beliebig gro\ss{}e Eingabedaten in polynomieller Zeit abl\"{a}uft. Da scheint es schon grunds\"{a}tzlich schwierig zu sein, den Grenzwert dieser Laufzeit zu ermitteln. Wenn man auch feststellen kann, dass sich die Laufzeiten bei relativ gro\ss{}en Instanzen polynomiell verhalten, wie soll man sagen k\"{o}nnen, dass sie sich auch bei noch gr\"{o}\ss{}eren Instanzen so verhalten werden? Zudem k\"{o}nnten manche Algorithmen bei allen Eingabedaten ab einer bestimmten Gr\"{o}\ss{}e in Endlosschleifen geraten. In diesem Fall w\"{a}re die Ermittlung der Komplexit\"{a}t auf das Halteproblem reduzierbar, welches bekanntlich unentscheidbar ist.

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Claus D. Volko, cdvolko@gmail.com
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\begin{center}
\Large \textbf{Was sollten Hochbegabte studieren?}
\end{center}
\normalsize Als ich neulich mit einem Juristen zu tun hatte, dachte ich mir, dass Jus eigentlich gar kein so schlechtes Studium sein k\"{o}nne, weil man damit immerhin viel Geld verdienen k\"{o}nne. Dass ich aber so denke, hat mit meinem Alter zu tun - ich bin jetzt 29 und habe, so gesehen, andere Interessen, als ich noch mit 17 hatte, als ich meine Studienwahl treffen musste. Mit 17 hatte ich noch einen enormen Wissensdurst und vor allem den Drang, komplizierte, geistig anspruchsvolle Aufgaben zu l\"{o}sen - Bed\"{u}rfnisse, die ein Jus-Studium vermutlich weniger befriedigt h\"{a}tte.
\\
\\ MATHEMATIQ besch\"{a}ftigt sich mit Mathematik, Informatik, Physik und Philosophie. Sind das die Studienrichtungen, die f\"{u}r mathematisch hochbegabte Heranwachsende am besten geeignet sind? W\"{a}re es als eine Talentverschwendung zu betrachten, wenn ein mathematisch Hochbegabter etwas anderes studierte?
\\
\\ Letzteres w\"{u}rde ich verneinen. Der Arbeitsmarkt schreit nicht nach Mathematikern oder Physikern. Auch der in den Medien oft postulierte ``Fachkr\"{a}ftemangel'' ist meiner Meinung nach eine Illusion. Damit versuchen die Medien nur die Menschen zu manipulieren. Die Realit\"{a}t sieht oft anders aus, als es von den Medien dargestellt wird.
\\
\\ Freilich haben aber andere Studienrichtungen auch andere Anforderungen, die jemand mit einer rein mathematischen Begabung nicht unbedingt erf\"{u}llen mag. Medizin sollte beispielsweise in meinen Augen nur derjenige studieren, der wirklich Interesse am Fach, ein sehr gutes Ged\"{a}chtnis und viel Ausdauer und Flei\ss{} mitbringt.
\\
\\ Kann man eine mathematische Begabung als Mediziner verwerten? Nur in sehr geringem Ausma\ss{}. In der Pharmakologie werden manchmal Dosis-Wirkungs-Kurven analysiert; daf\"{u}r braucht man Grundkenntnisse der Differential- und Integralrechnung. In der Physiologie kommen einige Gleichungen vor, unter anderem bei der Ausrechnung des Membranpotenzials. Das w\"{a}re aber auch schon fast alles. Gewiss, manchmal muss man auch im klinischen Alltag L\"{o}sungen verd\"{u}nnen und dazu zu mischende Volumina ausrechnen, aber das ist ja eher trivial - dazu muss man nicht mathematisch hochbegabt sein. So gesehen, ist es ziemlich sinnlos, sich f\"{u}r ein Medizinstudium zu entscheiden, weil man glaubt, als mathematisch Hochbegabter aus der Masse herauszustechen und auf diese Weise irgendeinen Vorteil gegen\"{u}ber seinen Kollegen zu haben.
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\\ Was die Mathematik an sich betrifft, w\"{u}rde ich gerne aus einem Artikel zitieren, den ich vor kurzem in meinem Blog ver\"{o}ffentlicht habe: 
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\\ ``Hinzu kommt meiner Meinung nach, dass das Beweisen einer mathematischen Vermutung zwar eine anerkennenswerte intellektuelle Leistung ist, doch ein solcher Beweis fast immer v\"{o}llig nutzlos ist! Denn diese Vermutungen, die oft Jahrhunderte eines Beweises harrten, haben entweder keine (offensichtliche) praktische Anwendbarkeit, oder aber sie wurden bereits in der Praxis angewendet, ohne bewiesen worden zu sein. Der Beweis ist im Prinzip Formsache. Da geht es allenfalls um die endg\"{u}ltige Begr\"{u}ndung, warum eine Formel richtig sein muss. Einen realen Unterschied macht es aber nicht, ob eine Formel unbewiesen ist, sich aber im praktischen Leben bew\"{a}hrt hat, oder ob man den Beweis kennt. So ist auch das $\P$-$\NP$-Problem zu betrachten.
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\\ Man sieht das ja auch in der Medizin. Da wird im t\"{a}glichen Leben, im Berufsalltag eines Arztes, st\"{a}ndig mit Annahmen gearbeitet, die nicht endg\"{u}ltig bewiesen worden sind, ja m\"{o}glicherweise gar nicht bewiesen werden k\"{o}nnen. Und trotzdem erzielt die Medizin Heilerfolge. Nicht zuletzt sagt man auch: `Wer heilt, hat Recht.' In der Praxis gen\"{u}gt es, mit Hypothesen zu arbeiten; wenn sich diese Hypothesen erh\"{a}rten, ist es gut, wenn nicht, m\"{u}ssen sie verworfen werden.
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\\ Es ist unendlich schwieriger, eine All-Aussage zu beweisen, als sie zu widerlegen. Nat\"{u}rlich ist es eine besondere geistige Leistung, wenn es gelingt, eine Vermutung zu beweisen. Aber notwendig ist das nicht.''
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\\ Insofern relativiert sich die Ansicht, mathematisch Hochbegabte sollten unbedingt etwas aus ihrer Begabung machen.

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Claus D. Volko, cdvolko@gmail.com
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\Large \textbf{Kategorientheorie und Koalgebra}
\end{center}
\normalsize In den vergangenen Ausgaben von MATHEMATIQ habe ich mich vor allem mit Theoretischer Informatik besch\"{a}ftigt. Nun gibt es noch eine weitere Abstraktionsebene: Man kann n\"{a}mlich Konzepte der Theoretischen Informatik, wie Datenstrukturen, auch mathematisch modellieren. Das ist aber Sache eines studierten Mathematikers und nicht eines Informatikers. Dem reinen Informatiker fehlt dazu das notwendige R\"{u}stzeug, das er in einem Mathematikstudium erworben h\"{a}tte. Au\ss{}er, er hat die Mu\ss{}e, das Vers\"{a}umte im Selbststudium nachzulernen.
\\
\\ Zwei Konzepte, die bei der mathematischen Modellierung von Datenstrukturen und \"{a}hnlichen Dingen eine Rolle spielen, sind jedenfalls die Kategorientheorie und die Koalgebra. Dabei handelt es sich bei der Kategorientheorie um eine Verallgemeinerung der Mengenlehre. Die Koalgebra wird an Universit\"{a}ten oft auf der Kategorientheorie aufbauend gelehrt, auch wenn sie im Prinzip auch ohne Konzepte der Kategorientheorie definiert werden kann, und stellt einen zu der Algebra (einem Teilbereich der Mathematik) dualen Formalismus dar. Das hei\ss{}t, zu jeder Algebra gibt es auch eine Koalgebra und umgekehrt. Manchen wird vielleicht schon die Formulierung ``eine Algebra'' Kopfzerbrechen bereiten, kennt er doch nur ``die Algebra''. Das unterscheidet eben den Laien vom studierten Mathematiker - der Laie hat sich h\"{o}chstens mit Linearer Algebra besch\"{a}ftigt und glaubt wom\"{o}glich, dies w\"{a}re die einzige Algebra, aber der Mathematiker wei\ss{}, dass es viele verschiedene Algebren gibt; in seinen Vorlesungen lernt er, wie man Algebren allgemein beschreibt. Nun lassen sich manche Konzepte der Informatik eben durch Algebren beschreiben, aber andere harrten lange Zeit einer solchen Beschreibung und bereiteten den Mathematikern entsprechend Kopfzerbrechen. Und da kommt eben die Koalgebra ins Spiel. Dabei ist zu sagen, dass die Dinge, die neuerdings mit Hilfe der Koalgebra modelliert werden, fr\"{u}her durch Automaten dargestellt wurden. Es ist insofern nicht ganz korrekt zu sagen, die Koalgebra sei eine Verallgemeinerung der Automatentheorie, ich w\"{u}rde sie eher als einen alternativen Ansatz zur Beschreibung von Dingen bezeichnen, die auch durch Automaten modelliert werden k\"{o}nnen. Theoretische Informatiker wie ich, die von Automatentheorie recht viel Ahnung, von Koalgebra aber wenig Ahnung haben (ich gebe es zu), m\"{o}gen vielleicht dazu neigen, die Koalgebraiker als Konkurrenten zu betrachten. Aber im Moment sieht es jedenfalls nicht danach aus, als ob die Automatentheorie durch die Koalgebra abgel\"{o}st w\"{u}rde. \"{U}berhaupt scheint die Koalgebra noch ein Gebiet zu sein, in dem sich nur wenige wirklich auskennen - man findet im Internet etwa eine niederl\"{a}ndische Arbeitsgruppe, die auf diesem Gebiet recht viel publiziert hat, und die Vortragende an der TU Wien, die hier eine Vorlesung \"{u}ber Koalgebra gehalten hat, hat nicht zuf\"{a}lligerweise eben dort, in den Niederlanden, ihr Doktorat gemacht. Die Gemeinschaft der Koalgebraiker scheint also insgesamt noch recht klein zu sein. Aber vielleicht ist das f\"{u}r den einen oder anderen gerade deswegen interessant, um eventuell Karriere zu machen.
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\\ Ein relativ gutes Tutorial zur Koalgebra kann hier gefunden werden:
\\ \url{http://www.cs.ru.nl/B.Jacobs/PAPERS/JR.pdf}

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Claus D. Volko, cdvolko@gmail.com
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\end{document}
